循环神经网络（Recurrent Neural Network，RNN）是一种重要的深度学习模型，它能够处理序列数据。与传统的全连接神经网络和卷积神经网络不同，RNN具有记忆能力，可以处理任意长度的序列。这种特性使得RNN在自然语言处理、时间序列预测等领域有着广泛的应用。

接下来，我们将深入探讨RNN的工作原理以及如何通过手动推导和编写代码逐行实现一个RNN模型。

1. RNN的基本工作原理

RNN的核心思想是使用一个内部的隐藏状态（hidden state）来记录过去的信息。具体来说，RNN在每一步都会接收当前的输入，并结合上一步的隐藏状态，来更新当前的隐藏状态和输出。

2. 展开RNN网络

为了更好地理解RNN的工作机制，我们可以将其看作是一个展开的网络。例如，对于一个长度为T的序列，我们可以将RNN网络展开为T层，每一层都接收前一层的隐藏状态作为输入，并输出当前的隐藏状态和预测结果。

3. 手动推导RNN的前向传播过程

假设我们有一个输入序列x = [x1, x2, ..., xT]，隐藏状态h = [h1, h2, ..., hT]，以及权重矩阵U（输入到隐藏状态的权重），W（隐藏状态到隐藏状态的权重）和V（隐藏状态到输出的权重）。

对于第t步，隐藏状态和输出可以按照以下公式计算：

h_t = tanh(U * x_t + W * h_{t-1})

y_t = V * h_t

其中，tanh是双曲正切激活函数，用于增加非线性。

4. 编写代码逐行实现RNN模型

接下来，我们将使用Python和Numpy库来逐行实现一个简单的RNN模型。

```python

import numpy as np

def tanh(x):

    return np.tanh(x)

# 初始化参数

inputs = np.array([0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5])

targets = np.array([0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0])

epochs = 10000

lr = 0.1

# 随机初始化权重矩阵

U = np.random.randn(2, 1)

W = np.random.randn(2, 2)

V = np.random.randn(1, 2)

# 梯度下降更新权重

for epoch in range(epochs):

    hidden = np.zeros((2, 1))

    for t in range(len(inputs)):

        x_t = np.array([inputs[t]])

        hidden = tanh(np.dot(U, x_t) + np.dot(W, hidden))

        output = np.dot(V, hidden)

        error = targets[t] - output

        gradient_V = error * hidden

        gradient_W = np.dot(error * (1 - hidden ** 2), np.transpose(hidden))

        gradient_U = np.dot(error * (1 - hidden ** 2), np.transpose(x_t))

        V += lr * gradient_V

        W += lr * gradient_W

        U += lr * gradient_U

```

以上就是一个简单的RNN模型的手动推导和代码实现。需要注意的是，上述代码只是一个简单的示例，实际应用中还需要加入更多的技巧和改进，例如引入长短时记忆（LSTM）单元或门控循环单元（GRU）等。

RNN作为一种重要的深度学习模型，具有强大的序列处理能力。通过手动推导和编写代码逐行实现RNN模型，我们可以更深入地理解其工作原理，并为其进一步优化和应用奠定基础。